Gradien Divergensi dan Curl

Gradien

Definisi:

Ø  Operator Diferensial Vektor Del (Ñ)

            Ñ= ¶/¶x i+ ¶/¶y j+ ¶/¶z k     atau  = i ¶/¶x + j ¶/¶y + k ¶/¶z

            Operator Ñ disebut juga ‘nabla’

Ø  Gradien

            Misal f(x, y, z) terdefinisi dan diferensiabel pd setiap titik (x, y, z) dlm suatu daerah t       ertentu dari ruang (f medan skalar). Gradien f ditulis: Ñf atau grad f, didefinisikan:

            Ñf= (¶/¶x i+ ¶/¶y j+ ¶/¶z k)f

            = ¶f/¶x i+ ¶f/¶y j+ ¶f/¶z k

Ø  Ñf.dr=0, shg Ñf adalah sebuah vektor yg tegaklurus pd permukaan f(x, y, z)= c, dimana c sebuah konstanta.

Ø  Komponen Ñf dlm arah vektor satuan a adalah Ñf.a

            yaitu laju perubahan f pd (x, y, z) dlm arah a.

Contoh:

1. Jika f(x, y, z) = 3x²y – y³z², carilah grad f (Ñf) pada titik (1, -2, -1).
2. Carilah normal satuan terhadap permukaan x²y + 2xz = 4 pada titik (2, -2, 3).
3. Carilah persamaan untuk bidang singgung terhadap permukaan 2xz²-3xy-4x = 7 pada titik (1, -1, 2).
4. Carilah turunan berarah dari f=x²yz+4xz² pada (1, -2, -1) dalam arah 2i-j-2k.
5. Carilah sudut antara permukaan-permukaan x²+y²+z²=9 dan z=x²+y² -3   pd titik (2, -1, 2)

“Divergensi”

Definisi:

            Misalkan V(x, y, z)= V₁ i+ V₂ j+ V₃ k terdefinisi dan diferensiabel dlm suatu daerah tertentu dari ruang (V medan vektor). Divergensi dari V, ditulis: Ñ.V  atau div V, didefinisikan:

            Ñ. V = (¶/¶x i+ ¶/¶y j+ ¶/¶z k) . (V₁ i+ V₂ j+ V₃ k)

                          = (¶V₁/¶x+ ¶V₂/¶y+ ¶V₃/¶z)

            Contoh:

1. Jika A=x²z i – 2y³z² j +xy²z k , maka carilah div A (Ñ.A) pada titik (1, -1, 1).
2. Diketahui f= 2x³y²z⁴. Carilah:

1. Ñ.Ñf (div grad f)
2. Ѳf     

            Ѳ = ¶²/¶x² + ¶²/¶y² + ¶²/¶z² disebut operator Laplacian.

3. Tentukan konstanta a sehingga vektor V=(x+3y)i+(y-2z)j+(x+az)k adalah solenoidal [sebuah vektor V adalah solenoidal jika divergensinya 0].

“Curl”

Definisi:

            Jika V(x, y, z) adalah suatu medan vektor yg diferensiabel maka curl atau rotasi V, ditulis: curl V atau rot V, didefinisikan:

            Ñ x V = (¶/¶x i+ ¶/¶y j+ ¶/¶z k) x (V₁ i+ V₂ j+ V₃ k)

          

            Contoh:

1. Jika A=x²z i – 2y³z² j +xy²z k , maka carilah curl A (Ñ x A) pada titik (1, -1, 1).
2. Jika A=x²y i-2xz j+2yz k, carilah curl curl A.
3. Jika f adalah suatu medan skalar dan A suatu medan vektor, buktikan:

1. Curl grad f = 0
2. Div curl A = 0

            Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektor yg diferensiabel dan f dan y fungsi-fungsi skalar dari kedudukan (x, y, z) yg diferensiabel maka:

1. Ñ(f + y) = Ñf + Ñy   atau

            grad(f+y)= grad f + grad y

2. Ñ.(A + B) = Ñ.A + Ñ.B          atau

            div (A+B)= div A + div B

3. Ñx(A + B) = Ñx A + Ñx B     atau

            curl (A+B) = curl A + curl B

4. Ñ.(fA) = (Ñf). A + f(Ñ.A)
5. Ñx(fA) = (Ñf)x A + f(ÑxA)
6. Ñ.(AxB) = B.(Ñx A) – A.(ÑxB)
7. Ñx(AxB) = (B.Ñ)A – B(Ñ.A)-(A.Ñ)B+A(Ñ.B)
8. Ñ(A.B) = (B.Ñ)A + (A.Ñ)B+B x(ÑxA)+A x(ÑxB)
9. Ñ.(Ñf) = Ѳf= ¶²f/¶x² + ¶²f/¶y² + ¶²f/¶z²

                dimana Ѳ= ¶²/¶x²+ ¶²/¶y²+ ¶²/¶z² disebut operator laplace

10. Ñx(Ñf) = 0      curl dari gradien f adalah 0
11. Ñ.(Ñ x A)= 0   divergensi dari curl A adalah 0.
12. Ñx(Ñ x A)=Ñ(Ñ.A)-ѲA